taramath: Fourier.complex

Beschreibung

Die Funktion besitzt folgende Argumente:

y	Stützwerte, d.h. Liste von reelen oder komplexen Zahlen

Es wird die (komplexwertige) eindimensionale diskrete Fouriertransformation berechnet und als Array zurückgegeben. Genauer sei y ein Array bestehend aus den

n

Elementen

\displaystyle y_0,\,y_1,\,\ldots,\,y_{n-1}

(reelle oder komplexe Zahlen). Weiterhin seien

x_i=i\cdot\frac{2\pi}{n}

äquidistante Stützstellen auf dem Intervall

[0,2\pi]

und wir definieren

\displaystyle g(x)~=~\sum_{k=0}^{n-1}c_k\cdot\exp(I\cdot k\cdot x).

Dabei ist

I

die imaginäre Einheit. Bestimmt werden schließlich die (komplexen) Faktoren

c_k

derart, dass die Interpolationsaufgabe

\displaystyle g(x_i)~=~y_i

für alle

i=0,\ldots,n-1

erfüllt wird. Komplexe Zahlen werden dabei jeweils als Array mit zwei Einträgen definiert.

Falls

n

eine Zweierpotenz ist, dann besitzt das Verfahren dieser Funktion eine Komplexität von

O(n\cdot\log(n))

. Falls

n

keine Zweierpotenz ist, dann besitzt das Verfahren dieser Funktion eine Komplexität von

O(n^2)

Beispiel

Das folgende Beispiel generiert

n

zufällige (reellwertige) Stützwerte und führt eine diskrete Fouriertransformation durch. Die Stützwerte sowie das Ergebnis der Transformation werden entsprechend ausgegeben.

<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
  <script src="taramath.js"></script>
</head>
<body>
<textarea id="output"></textarea>
<script>

  var n = 8;
  var y = new Array(n);
  for (var i = 0; i < n; i++) y[i] = Math.random();

  var c = Fourier.complex_transform(y);

  Print.init("output");
  Print.object(y);
  Print.object(c);

</script>
</body>
</html>

​x
 
<!DOCTYPE html>
<html><head>  <script src="taramath.js"></script></head><body><textarea id="output"></textarea><script>​  var n = 8;  var y = new Array(n);  for (var i = 0; i < n; i++) y[i] = Math.random();​  var c = Fourier.complex_transform(y);​  Print.init("output");  Print.object(y);  Print.object(c);​</script></body></html>

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Beispiel

Das folgende Beispiel generiert

n

zufällige (komplexwertige) Stützwerte und führt eine diskrete Fouriertransformation durch. Die Stützwerte sowie das Ergebnis der Transformation werden entsprechend ausgegeben.

<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
  <script src="taramath.js"></script>
</head>
<body>
<textarea id="output"></textarea>
<script>

  var n = 8;
  var y = new Array(n);
  for (var i = 0; i < n; i++) y[i] = [Math.random(), Math.random()];

  var c = Fourier.complex_transform(y);

  Print.init("output");
  Print.object(y);
  Print.object(c);

</script>
</body>
</html>

xxxxxxxxxx
 
<!DOCTYPE html>
<html><head>  <script src="taramath.js"></script></head><body><textarea id="output"></textarea><script>​  var n = 8;  var y = new Array(n);  for (var i = 0; i < n; i++) y[i] = [Math.random(), Math.random()];​  var c = Fourier.complex_transform(y);​  Print.init("output");  Print.object(y);  Print.object(c);​</script></body></html>

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Fourier.complex_transform

die Fouriertransformation (eindimensional und komplexwertig)